费拉里法求解一元四次方程（一元四次方程怎么解）

本文目录

• 一元四次方程怎么解
• 一元四次方程的计算程序代码
• 一元四次方程 如何用费拉里方法解 2x^4-x^2-6＝0
• 数学计算
• 一元四次方程的计算公式
• 1元4次方程怎样解
• 一元四次方程解法
• 一元四次方程求根公式的求根公式（费拉里法）
• 这个一元四次方程组怎么解

一元四次方程怎么解

高于四次不是没有公式，是没有用根式表示的公式，但如五次方程就可以用椭圆函数或三角函数解出准确值。一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 （5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。 x^y就是x的y次方 好复杂的说 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法 和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程 一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程： x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有 (x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

一元四次方程的计算程序代码

#include 《math.h》#include 《float.h》#include 《complex》/******************************************************************************\对一个复数 x 开 n 次方\******************************************************************************/std::complex《double》 sqrtn(c***t std::complex《double》&x,double n){double r = _hypot(x.real(),x.imag()); //模if(r 》 0.0){double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角n = 1.0 / n;r = pow(r,n);a *= n;return std::complex《double》(r * cos(a),r * sin(a));}return std::complex《double》();}/******************************************************************************\使用费拉里法求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0\******************************************************************************/void Ferrari(std::complex《double》 x,std::complex《double》 a,std::complex《double》 b,std::complex《double》 c,std::complex《double》 d,std::complex《double》 e){a = 1.0 / a;b *= a;c *= a;d *= a;e *= a;std::complex《double》 P = (c * c + 12.0 * e - 3.0 * b * d) / 9.0;std::complex《double》 Q = (27.0 * d * d + 2.0 * c * c * c + 27.0 * b * b * e - 72.0 * c * e - 9.0 * b * c * d) / 54.0;std::complex《double》 D = sqrtn(Q * Q - P * P * P,2.0);std::complex《double》 u = Q + D;std::complex《double》 v = Q - D;if(v.real() * v.real() + v.imag() * v.imag() 》 u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag()){u = sqrtn(v,3.0);}else{u = sqrtn(u,3.0);}std::complex《double》 y;if(u.real() * u.real() + u.imag() * u.imag() 》 0.0){v = P / u;std::complex《double》 o1(-0.5,+0.86602540378443864676372317075294);std::complex《double》 o2(-0.5,-0.86602540378443864676372317075294);std::complex《double》&yMax = x;double m2 = 0.0;double m2Max = 0.0;int iMax = -1;for(int i = 0;i 《 3;++i){y = u + v + c / 3.0;u *= o1;v *= o2;a = b * b + 4.0 * (y - c);m2 = a.real() * a.real() + a.imag() * a.imag();if(0 == i || m2Max 《 m2){m2Max = m2;yMax = y;iMax = i;}}y = yMax;}else{//一元三次方程，三重根y = c / 3.0;}std::complex《double》 m = sqrtn(b * b + 4.0 * (y - c),2.0);if(m.real() * m.real() + m.imag() * m.imag() 》= DBL_MIN){std::complex《double》 n = (b * y - 2.0 * d) / m;a = sqrtn((b + m) * (b + m) - 8.0 * (y + n),2.0);x = (-(b + m) + a) / 4.0;x = (-(b + m) - a) / 4.0;a = sqrtn((b - m) * (b - m) - 8.0 * (y - n),2.0);x = (-(b - m) + a) / 4.0;x = (-(b - m) - a) / 4.0;}else{a = sqrtn(b * b - 8.0 * y,2.0);x =x = (-b + a) / 4.0;x =x = (-b - a) / 4.0;}} void Test_QuarticEquation(){std::complex《double》 x;std::complex《double》 x1(2.0,0.0); //随便填std::complex《double》 x2(2.0,0.0); //随便填std::complex《double》 x3(2.0,0.0); //随便填std::complex《double》 x4(2.0,0.0); //随便填std::complex《double》 a ( 1.0,0.0); //随便填(不为零即可)std::complex《double》 b = a * (-x1-x2-x3-x4);std::complex《double》 c = a * (x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4);std::complex《double》 d = a * (-x2 * x3 * x4 - x1 * x3 * x4 - x1 * x2 * x4 - x1 * x2 * x3);std::complex《double》 e = a * (x1 * x2 * x3 * x4);Ferrari(x,a,b,c,d,e); //验证费拉里法}

一元四次方程 如何用费拉里方法解 2x^4-x^2-6＝0

一元三次方程共有三个根，其中一个根导致M=0，就试试其它两个根。如果三个根算出来的M均为零。那就说明一元四次方程有两对重根，求解2*x^2+b/a*x+y=0即可。

数学计算

一元三次方程的一般形式是 y³+sy²+ty+u=0 如果令y=x-s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法 和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程 一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程： x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有 (x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

一元四次方程的计算公式

费拉里法求解一元四次方程 的步骤如下 或 （取模较大的数值） （若 u 为零，则 v 也取值为零）y有三种取值上面两个公式中， ，将 分别代入 ，就能得到三组（y，m）。请选择 最大或 的一组作为 y，m 的数值。若m=0则一元四次方程有两对重根，计算公式如下：若 m 不等于零，则一元四次方程的求根公式如下：算例1：上式中 ，可算得y 取 时，m = 0。这个 y 不合适，换一个再试试y 取 时， 可算得四个根为算例2： 即上式中 ，可算得y 有三重根 ，可算得 m = 0。因此，一元四次方程有两对重根，即 对费拉里计算方法整理后，即可得到一元四次方程 的求根公式 或 （取模较大的数值） （若 u 为零，则 v 也取值为零）上面三个公式中的 k 可取值 1,2,3，用来区别费拉里法中一元三次方程的三个根。请选择 最大的那组（m，S，T）。如果 的最大值仍为零，则 m，S，T 的数值按下面三个公式计算一元四次方程的四个根为： 网站planetmath.org上列出了方程的求根公式 查看这个公式，需要非常的耐心和细心。将其分拆后，可以得到如下公式：四个根为（n = 1,2,3,4）可见，这个公式是“求根公式（费拉里法）”的一个特例。这个公式不仅复杂，而且有很多问题：1、当 时 会计算失败；2、当 时，求根计算会失败。

1元4次方程怎样解

一元四次方程的解法大家都已经知道一元二次方程和一元三次方程公式解的求法了，那么一元四次方程呢？介绍一下卡当的学生--费拉利的方法。和一元三次方程的技巧，我们都要把方程降次来解。下面就是费拉里降次的方法：将一般四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0每项除以a，得到：x4+(b/a)x3+(c/a)x2+(d/a)x+(e/a)=0移项，得到：x4+(b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)在等式两端同时加上(bx/2a)2，进行配方。再在该式加上上式右端是一个关于x的二次三项式。适当选择y，使这个二次三项式也能写成完全平方式。这是不难的，只要y能满足等式右边关于y的一元二次方程的根的判别式为0，即下面的等式：就可以，这是一个关于y的三次方程。这样，费拉里把解四次方程的问题归为解一个三次方程和两个二次方程的问题。利用二次方程和三次方程的求根公式，四次方程的根可以直接用方程的系数表示出来。奈何这样的求根公式很复杂，所以人们没有把它写出。

一元四次方程解法

四次方程属于高次方程范畴，其基本解法思想是：通过适当的配方，使四次方程变为两个一元二次方程．一元四次方程的求解，据说是由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari，1522年2月2日到1565年10月5日)首先掌握的．费拉里曾利用它战胜了塔尔塔利亚 ．四次方程的求解主要是以下两种情况：1.如果一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为，那么该一元四次方程是双二次方程：2.一般的一元四次方程可化为：这种一般情况主要有两种解决方法 ：（1）Euler(欧拉)；（2）Ferrari(费拉里)，此处详细陈述第二种。解法特殊情况如果一个一元四次方程的三次项系数和一次项系数都为0 ，那么该一元四次方程是双二次方程：令 ，得。用一元二次方程的求根公式可求出则原方程的四个根分别为：1一般情况一般的一元四次方程可化为：移项可得：两边同时加上配成平方：在两边同时加上，可得：若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x的一次式的完全平方。于是设这是y的一个三次方程。选取这三次方程的任一个根代入中的y。根据左边也是个完全平方这一事实，取平方根，得到x的一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这两个二次方程便得到x的4个根。若从选取另一个根就会从引出一个不同的方程但得到同样的四个根。费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方后引进参数 y，并再次配方把左边配成含有参数 y 的完全平方，再使 右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题．因此，我们可得四次方程求根公式 。

一元四次方程求根公式的求根公式（费拉里法）

一元四次方程的求根公式过于复杂。为了描述方便，不得不借助几个中间变量。或 （取模较大的数值） （若 u 为零，则 v 也取值为零）上面三个公式中，k 可取值 1,2,3。（m,S,T）的取值最好选择最大的一组，这样计算 T 时数值最稳定。如果三个 均为零，则上面三个变量按下面三个公式取值四个根为（下式中 ）

这个一元四次方程组怎么解

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是4的整式方程叫做一元四次方程。它的一般式为:ax^4+bx³+cx²+dx+e=0（a≠0）解一元四次方程组的解法有：1.费拉里法2.笛卡尔法一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。