什么是代数数和超越数？哪位能用通俗的语言解释一下超越数的意思

本文目录

• 什么是代数数和超越数
• 哪位能用通俗的语言解释一下超越数的意思
• 请问什么是“超越数”
• 什么是“超越数”
• 目前已知的超越数有哪些
• 什么是超越数
• 什么是超越数,已知有哪些超越数
• 超越数是什么

什么是代数数和超越数

超越数是无法通过整系数代数方程表达的数字，是无理数中最复杂的一类数。

而代数数是能通过整系数代数方程的根表达的数字。

1、定义不同

有理系数代数方程的根称为代数数。

不是代数数的无理数即为超越数。

2、数量不同

因为代数数是可数集。代数数是指满足整系数方程的根的数，整数可数，可数集的n次笛卡尔积可数说明整系数多项式可数，而整系数方程的根的个数不超过该方程的次数，且可数个可数集的并可数。所以代数数是可数集。

超越数是实数在代数数中的补集，所以超越数是不可数的，因此超越数多。

扩展资料：

并不是每个实数都是代数数，全体代数数是可数的，又因为实数是不可数的，因此必定存在不是代数数的实数，这样的数称为超越数。

康托关于超越数存在的证明，很难说是构造性的。在理论上，把代数方程的根的十进位小数表达式列成表，对它采用康托的对角线方法，就可以构造一个超越数。但是，这个方法是很不实际的，以致人们不论用十进制或者其他形式的小数，都无法把那个书的表达式真正写出来。

其实，关于超越数，人们最感兴趣的问题是证明某些特定的数，例如π和e是超越数。

哪位能用通俗的语言解释一下超越数的意思

简单说来，不能表示成任何一个整系数多项式方程的根的实数就是超越数。实数可以分为代数数和超越数，代数数都是某个整系数多项式方程（类似x^n+ax^(n-1)+...+b=0，所有系数都是整数）的根。不管它多复杂，只要满足这个条件就是代数数。例如，√(5+√5)是代数数。因为设x=√(5+√5)，那么x^2=5+√5，也就是说(x^2-5)^2=5，这就成了一个多项式方程，所有的系数都是整数（整系数一元四次方程）。而超越数就是任何一个整系数多项式方程都不能以它为解，即使是100次方程、200次方程，它也不可能是该方程的解的解。例如π就是超越数。

请问什么是“超越数”

超越数是不能满足任何整系数代数方程的数。这即是超越数是代数数的相反，也即是说若 x 是一个超越数，那麽对于任何整数 《math》a_n, a_{n_1}, \ldots, a_0《/math》 都符合： 《math》a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0《/math》 超越数的例子包括： 刘维尔 (Liouville) 常数：《math》\sum_{k=0}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots《/math》它是第一个确认为超越数的数，是于 1844年刘维尔发现的。 e 《math》e^a《/math》，其中 a 是代数数。 π 《math》e^\pi《/math》 《math》2^{\sqrt{2}}《/math》。更一般地，若 a 为零和一以外的任何代数数及 b 为无理代数数则 《math》a^b《/math》 必为超越数。希尔伯特第七问题便是问若 b 只是无理数那麽 《math》a^b《/math》 是否也是超越数。此问题到目前为止还未解决。 sin 1 ln a，其中 a 为非一正有理数。 Γ (1/3) 及 Γ (1/4)（参见伽傌函数）。 所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。 超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括着名的化圆为方问题，因 π 是超越数而被确定为不可能的了。

什么是“超越数”

分类: 教育/科学 》》 科学技术 》》 工程技术科学 问题描述: 数学上的问题。 解析: 什么是超越数？ 如果一个实数满足形式如anx n+a(n-1)x (n-1)+a(n-2)x (n-2)+~~+a2x 2+a1x+a0=0的整数系数的代数方程，其中N自然数。an,a(n-1),a(n-2),－－，a2,a1,a0都是整数，an《》0,那么，这个实数就称作代数数。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。 超越数的存在是由法国数学家柳维尔在1851年最早证明的。关于超数的存在，柳维尔写出了下面这样一个无限小数。a=0.11000100000000000000000100--,并且证明取这个a不可能满足上面所列出的整数系数方程,由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数A称为柳维尔数柳维尔数证明手，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，严肃埃尔米特又证明了自然对数底E的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数。这样，实数就可以按下面的方法来分类： 实数 ｜｜ 代数数超越数 ｜｜ 有理数无理数 超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题－－几何三大问题，即倍立方问题、三等分角问题和化方为圆问题。

目前已知的超越数有哪些

超越数的例子包括：刘维尔（Liouville）常数,它是第一个确认为超越数的数，是于 1844年刘维尔发现的。eπeπ2的√2次方sin 1ln a ，其中 a为一不等于1的正有理数。所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，甚至连 e+π是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

什么是超越数

超越数 不能满足任何整系数多项方程式的复数叫作超越数。 对于数,我们习惯的分类法,是虚数,实数,再分无理数,有理数,... 但我们还能按代数方程的解来分,把能满足整系数代数方程的数,称代数数;而把不满足任何整系数代数方程的数,称超越数. 实超越数是无理数的特例. 我所知道的三个著名超越数都是无理数,他们是: 圆周率π=3.14159265358979323846... 自然对数的底e=2.718281828459045... 拉常数γ=0.5772156649015328

什么是超越数,已知有哪些超越数

超越数，数学概念，指不是代数数的数。比如π、e。

超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809 ~ 1882）在1844年最早证明的。

关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），并且证明取这个a不可能满足任何整系数多项式方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。

后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。

超越数证明：

刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822 ~ 1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）。

在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数，b是无理代数数，则a^b是超越数（希尔伯特问题中的第七题）。

这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数。

超越数是什么

超越数是指不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”(1748年)而得名。

几乎所有的实数都是超越数。

1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率 π＝3．1415926…… 是超越数。

实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数代数方程  （n为正整数， ≠0）的数。理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的。

但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数如π，e，等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。

扩展资料：

超越数的证明，给数学带来了极大的变革，它证明了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题都是尺规不能问题（无法用尺规证明的问题）。

π和e的无穷级数形式

有趣的是，π和e可以用无穷级数表示：

π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N

π的反正切函数形式

除了无穷级数形式，π还可以用反正切函数表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239