西尔维斯特定理（阐述一个数学原理或定律）

本文目录

• 阐述一个数学原理或定律
• 西尔维斯特加莱定理是什么，还有证明
• 简述判断n元实二次型正定的充分必要条件
• 如何证明斯图姆法则
• 求世界数学著名定理
• 数学定理

阐述一个数学原理或定律

费马大定理： 当整数n 》 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 的整数解都是平凡解，即 当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) 当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 这个定理，本来又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。费马宣称他已找到一个绝妙证明。但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。本段研究历史 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei dem***trationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n 》 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得an + bn = cn。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。 5：库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。 6：勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞，被否决。 7：希尔伯特也研究过，但没进展。 8：1983年，德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫代尔猜想x的平方+y的平方=1这样的方程至多有有限个有理数解，他由于这一贡献，获得了菲尔兹奖。 9：1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。 10：1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n》2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。 11：1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。 12：1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”本段证明过程 1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n＝4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n＝4。1770年欧拉证明n＝3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n ＝5。1832年狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n＝7，随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔，他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数理论，为代数数论奠下基础；库麦尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。 为推进费马大定理的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，并充分考虑到证明的艰巨性，将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给数学家，期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行。” 在解决问题的过程中，数学家们不但利用了广博精深的数学知识，还创造了许多新理论新方法，对数学发展的贡献难以估量。1900年，希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入，却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明，但他认为问题一旦解决，有益的副产品将不再产生。“我应更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。” 数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n＜4002。大型计算机的出现推进了证明速度，1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。但数学是严谨的科学，n值再大依然有限，从有限到无穷的距离漫长而遥远。 1983年，年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想，为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖；此奖相当于数学界的诺贝尔奖，只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论：对于形如x^n+y^n=z^n（n≥4）的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距，但从无限到有限已前进了一大步。 1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想，德国数学家弗雷在1985年指出：如果费马大定理不成立，谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想，补足了弗雷观点的**。至此，如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明，费马大定理不证自明。 事隔一载，美国加利福尼亚大学伯克利分校数学家里比特证明了佩尔猜想。 1993年6月，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中，怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明，是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地，与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的！这时在座60多位知名数学家意识到，困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了！这一消息在讲演后不胫而走，许多大学都举行了游行和狂欢，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。本段证明方法 五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。 这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19**们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。 用不定方程来表示，费马大定理即：当n 》 2时，不定方程x^n + y^n = z^n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x^4 + y^4 = z^4 ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1〔p是一个奇素数〕均无xyz≠0的整数解。 n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p = 3的情，但证明不完全。勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形。1839年，拉梅证明了p = 7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p 《 100时，除了p = 37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的**。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p 《 4002时费马猜想成立。 现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p 《 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x 》 0，y 》 0，z 》 0，n 》 2，使x^n + y^n = z^n ，则x 》 101,800,000。 说明： 要证明费马最后定理是正确的 （即x^ n+ y^n = z^n 对n》2 均无正整数解） 只需证 x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P为奇质数)，都没有整数解。

西尔维斯特加莱定理是什么，还有证明

反证法： 设p=5*n(n是正的自然数) 则5q^2=p^2=25n^2 这样q^2也能被5整除，q也能被5整除 因此p与q有公因子5。 这与p,q互质相矛盾 从而 证明了根号5为无理数。

简述判断n元实二次型正定的充分必要条件

n元实二次型xTAx正定的充分必要条件有：

（1）A的正惯性指数是n；

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得CTAC=E；

（3）A的所有特征值均为正数；

（4）A的各阶顺序主子式均大于零；

此外，n元实二次型xTAx正定的必要条件有：

（1）｜A|》0；

（2）aii》0(i=1,2……n)

最后，判断n元实二次型是否正定时，可以看二次型矩阵的主对角线系数是否都为整数、行列式是否为零。对待低阶矩阵也可以计算各阶顺序主子式事是否均大于零，计算特征值较慢不推荐。

实二次型

此定理由西尔维斯特（J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比（C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。

两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数（或有相同的秩与符号差）。

如何证明斯图姆法则

瑞士数学家斯图姆在对代数方程根的讨论中，曾提出了著名的斯图姆定理：如果实系数多项式f(x)在(a，b)内无重根，a，b为实数且不是f(x)的根，作函数序列 f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fm-1(x)，C＝fm(x)． 其中f1(x)是f(x)的导数 f′(x)，用f1(x)除多项式f(x)所得余式反号后为f2(x)，然后用f2(x)除多项式f1(x)所得余式反号后为f3(x)，依此类推，可以证明最后一个不等于零的多项式fm(x)=C为常数．将x=a及x=b代入上面函数序列，得两实数序列 f(a)，f1(a)，f2(a)，…，fm-1(a)，C； (1) f(b)，f1(b)，f2(b)，…，fm-1(b)，C． (2) 设序列(1)的变号数为A，序列(2)的变号数为B，则A—B即为方程f(x)=0在区间(a，b)内的实根数．西尔维斯特对斯图姆定理进行了研究，发现了不需反复做多项式除法而得出斯图姆函数序列的一种较简单的方法，并把斯图姆定理的方法应用到两个独立函数f(x) 这两个方程的根以大小顺序排列时，它们相互穿插． 牛顿在研究代数方程根的个数中，曾提出了判定正根、负根和虚根个数的符号法则，但是没有给出证明，西尔维斯特于1865年给出了第一个严格的证明．1865年6月28日，西尔维斯特在伦敦大学国王学院的演讲，详细阐述了他关于方程根的定理和证明．若f(x)=0是一个代数方程，假设 f(x)=a_0x^n+na_1x^{n-1}+n(n-1)a_2x^{n-2}/2 +...+a_{n-1}x+a_n 其中a0，a1，…，an称为f(x)的简单元素．令A_0=a_0^2,A_{n-1}=a_{n-1}^2-a_{n-2}a_n, A0，A1，A2，…，An称为f(x)的2次项元素．称ar，ar+1是相连的简单元素，A_r,A_{r+1}是相连的2次项元素，a_r,A_r是相关联的一组元素，a_ra_{r+1},A_rA_{r+1}是相关联的一组相连项,一个相关连项可能包括符号的承袭和变更；在一个相关联的组中，可能是两个承袭或两个变更，或一个承袭一个变更，或一个变更一个承袭，分别用pP，vV，pV，vP表示，简称为双承袭，双变更，承袭变更，变更承袭．其中p，v表示相连简单元素的承袭和变更，P，V表示相连的2次项元素的承袭和变更．于是牛顿的完全法则可以简单地表述为：方程的负根数等于或小于∑pP，正根数等于或小于∑vP．由此可以得出推论：方程的实根总数等于或小于∑pP+∑vP．于是牛顿的不完全法则可表述为：方程的虚根数等于或大于n-(∑pP＋∑vP)． 西尔维斯特又将f(x)改写为f(x＋λ)，上面简单元素和2次项元素的序列也要作相应的改变，双承袭记作∑pP(λ)，或更简要地记作pP(λ)，称为λ特有的双承袭数目，pP(u)则称为μ特有的双承袭数目．(pP(0)即上面∑pP的记法)于是西尔维斯特得到了包括牛顿法则在内的一般定理：假设μ＞λ，则pP(u)-pP(λ)=(u，λ)＋2K，其中(μ，λ)表示方程在λ和μ之间的实根数，K是零或任意的正整数．西尔维斯特还将他的定理写成更一般的形式，他证明了他的定理，并指出了牛顿法则包含在他的定理之中． 在关于代数方程实根的研究中，西尔维斯特还推广并改进了牛顿的判别式．设x1，x2，…，x是方程。a0xn＋a1xn-1+…＋an-1x+an=0的根，牛顿的判别式为D=a_0^{2n-2}prod{(x_j-x_i)^2}{1 1840年，西尔维斯特得到了一个更详细的直接用方程的系数构成的判别式； ***** 如方程a0x2+a1x+a2=0的判别式为 ***** 这就是大家所熟知的结果． 西尔维斯特在方程论方面的另一个成就是改进了从一个n次方程和一个m次方程消去x的方法，他称这个方法为“析配法”．例如为消去方程 f(x)=a0xn＋a1xn-1＋…+an=0(a0≠0) ****** 中的x，它们的系数构成一个 m＋n阶的行列式 ***** 这行列式为零是这两个方程有公共解的必要充分条件．但西尔维斯特没有给出充分性的证明，后来被柯西证明． 19世纪中叶，西尔维斯特与凯莱等一批数学家开展了对代数型的研究．所谓代数型是指包含n个变元x1，x2，…，xn的m次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)，最常见的是二次型，即 ***** 关于代数型的研究主要围绕着三个课题，一是对不变量的研究；二是二次型的化简；三是关于二次型正定性的判定．西尔维斯特在这三个方面都做出了重要的贡献． 代数不变量的理论是由布尔、凯莱和西尔维斯**同创立的．所谓不变量理论就是经线性变换T将一个代数型f(x1，x2，…，xn)变为代数型F(y1，y2，…，yn)，f的系数a0，a1，…，as变为F的系数a′0，a′1，…，a′s，若经变换后它们的系数的某个函数I满足关系式 I(a_0^’,a_1^’,ldots,a_s^’)=r^omega I(a_0,a_1,ldots,a_s) 则称I为f的一个不变量．若ω=0，此不变量称为f的绝对不变量．譬如在一个直角坐标系下，两个变元x，y的二次型 f=ax2+2bxy＋cy2 经一个正交变换T，变为二次型 F=a′x′2＋2b′x′y′+c′y′2 虽然它们的系数改变了，但是它们系数的某个函数如判别式 D=left=b^2-ac 是保持不变的，即 D=ac-b2＝a′c′-b′2=D′， 也就是说判别式D=ac-b2是f的一个不变量．西尔维斯特等人计算了大量的代数型的不变量．西尔维斯特还发展了型的反变理论，弄清了正交变换、共变和皮变迭合，并且证明了由凯莱首先提出的在研究不变量理论方面有重要意义的凯莱数的存在性． 西尔维斯特还与凯莱、阿隆霍尔德一起系统地用线性微分算子来生成不变量和共变量．在不变量的计算中证明了任意2元P次型 f=a0xp+Pa1xp-1y+…+apyp 的不变量I应当满足两个微分方程 ΩI=0，OI=0． 这里Ω和O是线性微分算子， ******

求世界数学著名定理

托勒密定理：四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。蝴蝶定理：P是圆O的弦AB的中点，过P点引圆O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N，则有MP=NP。帕普斯定理：设六边形A**DEF的顶点交替分布在两条直线a和b上，那么它的三双对边所在直线的交点X、Y、Z在一直线上。高斯线定理：四边形A**D中，直线AB与直线CD交于E，直线**与直线AD交于F，M、N、Q分别为AC、BD、EF的中点，则有M、N、O共线。莫勒定理：三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点。拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形则他们的中心构成一个等边三角形。帕斯卡定理：若一个六边形内接于一条圆锥曲线，则这个六边形的三双对边的交点在一条直线上。布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。梅尼劳斯定理：如果一直线与三角形A**的边**、CA、AB分别交于L、M、N，则有：(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1 （考虑线段方向，则等式右边为-1）。它的逆定理：若有三点L、M、N分别在三角形A**的边**、CA、AB或其延长线上（至少有一点在延长线上），且满足(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1，则L、M、N三点共线。塞瓦定理：设O是三角形A**内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。它的逆定理：在三角形A**三边所在直线**、CA、AB上各取一点D、E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，则AD、BE、CE平行或共点。斯特瓦尔特定理：在三角形A**中，若D是**上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则AD^2=-pq。泰博定理：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形；取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形；给定任意三角形A**，**上任意一点M，作两个圆形，均与AM、**、外接圆相切，该两圆的圆心和三角形内接圆心共线。凡·奥贝尔定理：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直（凡·奥贝尔定理适用于凹四边形）。西姆松定理：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

数学定理

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n∏R／180 145扇形面积公式：S扇形=n∏R／360=LR／2